Question

如图,在三棱锥A—BCD中,侧面ABD、ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜边,且AD=,BD=CD=1.另一个侧面ABC是正三角形.

(1)求证:AD⊥BC;

(2)求二面角B-AC-D的大小;

(3)在线段AC上是否存在一点E,使ED与面BCD成30°角?若存在,确定点E的位置;若不存在,请说明理由.

Answer 1

解法一：(1)证法一:作AH⊥面BCD于H,连结DH.

AB⊥BDHB⊥BD.

∵AD=,BD=1,

∴AB==BC=AC.

∴BD⊥DC.

又BD=CD,则四边形BHCD是正方形,则DH⊥BC.

∴AD⊥BC.

证法二:取BC的中点O,连结AO、DO,

则有AO⊥BC,DO⊥BC.

∴BC⊥面AOD.∴BC⊥AD.

(2)解:作BM⊥AC于M,作MN⊥AC交AD于N,

则∠BMN就是二面角BACD的平面角.

∵AB=AC=BC=,

∴M是AC的中点,且MN∥CD.

则BM=,MN=CD=,BN=AD=.

由余弦定理得

cos∠BMN=.

∴∠BMN=arccos.

(3)解:假设存在并设E为所求的点,作EF⊥CH于F,连结FD.则EF∥AH,

∴EF⊥面BCD,∠EDF就是ED与面BCD所成的角,则∠EDF=30°.

设EF=x,易得AH=HC=1,则CF=x, FD=.

∴tan∠EDF=,解得x=,则CE==1.

故线段AC上存在E点,且CE=1时,ED与面BCD成30°角.

解法二:(1)证明:作AH⊥面BCD于H,连结BH、CH、DH,则四边形BHCD是正方形,且AH=1.

以D为原点,以DB为x轴,DC为y轴建立空间直角坐标系,如图,

则B(1,0,0),C(0,1,0),A(1,1,1).

=(-1,1,0), =(1,1,1).

∴·=0,则BC⊥AD.

(2)解:设平面ABC的法向量为n₁=(x,y,z),

则由n₁⊥知n₁·=-x+y=0.

同理,由n₁⊥知n₁·=x+z=0.

可取n₁=(1,1,-1).

同理,可求得平面ACD的一个法向量为n₂=(1,0,-1).

由图可以看出二面角BACD的大小应等于〈n₁,n₂〉,

则cos〈n₁,n₂〉==,

即所求二面角的大小是arccos.

(3)解:设E(x,y,z)是线段AC上一点,则x=z＞0,y=1,

平面BCD的一个法向量为n=(0,0,1),=(x,1,x),

要使ED与面BCD成30°角,

由图可知与n的夹角为60°.

所以cos〈,n〉==cos60°=.

则2x=,解得x=,则CE==1.

故线段AC上存在E点,且CE=1时,ED与面BCD成30°角.