Question

【题目】已知， .

（1）若函数的单调递减区间为，求函数的图象在点处的切线方程；

（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】试题分析: (1)求出函数g(x)的导函数,令导函数小于0,根据不等式的解集得到相应方程的两个根,将根代入求出a值,再根据g(x)的导数在x=-1的值即曲线的切线斜率,利用点斜式求出切线方程;(2)求出不等式,分离出参数a,构造函数h(x),利用导数求出最大值,求出a的范围.

试题解析:

（1），由题意，知的解集是，

即方程的两根分别是．（由韦达定理有∴a=-1）

将或代入方程，得，

∴， ，∴，

∴的图像在点处的切线斜率，

∴函数的图像在点处的切线方程为： ，即；

（2）∵恒成立，

即对一切恒成立，

整理可得对一切恒成立，

设，则，

令，得（舍），

当时， 单调递增；当时， 单调递减，

∴当时， 取得最大值，∴．

故实数的取值范围是．