Question

（2013•陕西）在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1至5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．
（Ⅰ） 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；
（Ⅱ） X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（I）设事件A表示：“观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手”，观众甲选中3号歌手的概率为

2

3

，观众乙未选中3号歌手的概率为1-

3

5

=

2

5

，利用互斥事件的概率公式，即可求得结论；
（II）由题意，X可取0，1，2，3，求出相应的概率，即可得到X的分布列与数学期望．

解答：解：（Ⅰ）设事件A表示：“观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手”，
观众甲选中3号歌手的概率为

2

3

，观众乙未选中3号歌手的概率为1-

3

5

=

2

5

，
∴P（A）=

2

3

×(1-

3

5

)=

4

15

，
∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为

4

15

；
（Ⅱ） X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，则X可取0，1，2，3．
观众甲选中3号歌手的概率为

2

3

，观众乙选中3号歌手的概率为

3

5

，
当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时，这时X=0，P（X=0）=（1-

2

3

）（1-

3

5

）²=

4

75

，
当观众甲、乙、丙只有一人选中3号歌手时，这时X=1，
P（X=1）=

2

3

（1-

3

5

）²+（1-

2

3

）

3

5

（1-

3

5

）+（1-

2

3

）（1-

3

5

）

3

5

=

20

75

，
当观众甲、乙、丙只有二人选中3号歌手时，这时X=2，
P（X=2）=

2

3

•

3

5

（1-

3

5

）+（1-

2

3

）

3

5

•

3

5

+

2

3

（1-

3

5

）

3

5

=

33

75

，
当观众甲、乙、丙都选中3号歌手时，这时X=3，
P（X=3）=

2

3

•（

3

5

）²=

18

75

，
X的分布列如下：

X	0	1	2	3
P	4 75	20 75	33 75	18 75

∴数学期望EX=0×

4

75

+1×

20

75

+2×

33

75

+3×

18

75

=

28

15

．

点评：本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与期望，解题的关键是确定变量的取值，求出相应的概率．