Question

已知.
（Ⅰ）求函数在上的最小值；
（Ⅱ）对一切恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）证明：对一切，都有成立.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）详见解析．

解析试题分析：（Ⅰ）求函数在上的最小值，先求出函数的定义域，然后求导数，根据导函数的正负判断函数的单调性，由于的值不知，故需要分类讨论，由得，，因此分，与两种情况，进而可求出最小值；（Ⅱ）对一切恒成立，求实数的取值范围，解这一类题，常常采用含有参数的放到不等式的一边，不含参数（即含）的放到不等式的另一边，转化为函数的最值问题，由，则，构造函数，则，进而得到实数a的取值范围；（Ⅲ）对一切，都有成立，即，结合（Ⅰ）中结论可知，构造新函数，分析其最大值，可得答案．
试题解析：（Ⅰ）. 
当单调递减，当单调递增   2分 
，即时，；      4分
②，即时，在上单调递增，．
所以.                     6分
（Ⅱ），则，
设，则，     8分
①单调递减，②单调递增，
所以，对一切恒成立，
所以.                                  10分
（Ⅲ）问题等价于证明，
由（Ⅰ）可知的最小值是，当且仅当时取到. 12分
设，则，当时，单调递增，当时，单调递减，故当时取得最大值，即，当且仅当时取到，从而对一切，都有成立.       14分
考点：函数在某点取得极值的条件，导数在最大值、最小值问题中的应用．