Question

19．已知函数f（x）=sin²x+acosx+5，a∈R．
（1）当a=1时，求函数f（x）的最大值和最小值以及相应的x的取值；
（2）求函数f（x）在R上的最大值g（a）．

Answer 1

分析 （1）a=1时，化简函数f（x），根据二次函数和三角函数的性质即可求出f（x）的最大、最小值与对应的x的值；
（2）化简函数f（x），讨论a的取值范围，利用二次函数的图象与性质，即可求出f（x）的最大值．

解答 解：（1）a=1时，函数f（x）=sin²x+cosx+5
=1-cos²x+cosx+5
=-${（cosx-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{25}{4}$，
当cosx=$\frac{1}{2}$，即x=2kπ±$\frac{π}{3}$，k∈Z时，
函数f（x）取得最大值$\frac{25}{4}$，
当cosx=-1，即x=2kπ+π，k∈Z时，
函数f（x）取得最小值4；
（2）函数f（x）=sin²x+acosx+5
=1-cos²x+acosx+5
=-${（cosx-\frac{a}{2}）}^{2}$+6+$\frac{{a}^{2}}{4}$，a∈R；
当a≤-2，即$\frac{a}{2}$≤-1时，f（x）在cosx=-1时取得最大值5-a；
当-2＜a＜2，即-1＜$\frac{a}{2}$＜1时，f（x）在cosx=$\frac{a}{2}$时取得最大值6+$\frac{{a}^{2}}{4}$；
当a≥2，即$\frac{a}{2}$≥1时，f（x）在cos=1时取得最大值5+a；
∴函数f（x）在R上的最大值为
g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{5-a，a≤-2}\\{6+\frac{{a}^{2}}{4}，-2＜a＜2}\\{5+a，a≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了二次函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目．