Question

【题目】已知函数，其中，.

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）当，且时，

（i）若有两个极值点，，求证：；

（ii）若对任意的，都有成立，求正实数的最大值.

Answer 1

【答案】（1）答案见解析；（2）（i）证明见解析，（ii）4.

【解析】

（1）求导，令，得，，然后分，，，三种情况讨论求解.

（2）（i）求导，由，是的两实根，由韦达定理得，，构造函数，利用导数证明即可；（ii）当时，不等式恒成立；当时，将不等式转化为求解.

（1），

.

令，得，.

①当，即时，，

在上递增；

②当，即时，

在，上递增，在递减；

③当，即时，在，上递增，在上递减.

（2）（i）证明：，.

由已知，是方程，即的两实根，

故，又，所以.

由韦达定理得：，，

因为，

所以，.

.

设，

则

所以递增，

故，即.

（ii）当时，不等式恒成立；

当时，不等式化为.

设，

因为，

所以在上单调递减.

因为，

所以在上单调递增，在上单调递减，

故.

又，所以，

此时.