Question

若f(x)=

ax+3

x+2

在区间（-2，+∞）上是减函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：利用函数单调递减的定义，设-2＜x₁＜x₂，再作差f（x₁）-f（x₂）后化积，根据f(x)=

ax+3

x+2

在区间（-2，+∞）上是减函数，可求得a的取值范围．

解答：解：对任意的-2＜x₁＜x₂
f(x1)-f(x2)=

ax1+1

x1+2

-

ax2+1

x2+2

= (ax1+1)(x2+2)-(ax2+1)(x1+2) (x1+2)(x2+2) = (ax1x2+2ax1+x2+2)-(ax1x2+2ax2+x1+2) (x1+2)(x2+2) = 2ax1-x1-2ax2+x2 (x1+2)(x2+2) = (2a-1)(x1-x2) (x1+2)(x2+2)

∵-2＜x₁＜x₂，则x₁+2＞0，x₂+2＞0，x₁-x₂＜0，
由f(x)=

ax+1

x+2

在区间（-2，+∞）上是减函数得f（x₁）-f（x₂）＞0，即

(2a-1)(x1-x2)

(x1+2)(x2+2)

＞0，
∴2a-1＜0
∴a＜

1

2

．

点评：本题考查函数单调性的性质，难点在于思路突破口的选择，着重考查函数单调递减的定义的应用，突出化归思想的考查，属于中档题．