Question

已知f（x）=|ax+1|（a∈R）|，
（1）a=2时解不等式f（x）≤3；
（2）若|f(x)-2f(

x

2

)|≤k恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）转化绝对值不等式为二次不等式，直接求解即可．
（2）令g（x）=|f(x)-2f(

x

2

)|，|f(x)-2f(

x

2

)|≤k恒成立，等价于k≥g（x） _max，利用绝对值不等式，求得实数k的取值范围．

解答：解：（1）∵a=2时解不等式f（x）≤3化为|2x+1|≤3，
∴-3≤2x+1≤3，
∴-2≤x≤1．
∴解不等式f（x）≤3的解集为[-2，1]．
（2）令g（x）=|f(x)-2f(

x

2

)|=||ax+1|-2|

a

2

x+1||=||ax+1|-|ax+2||，
|f(x)-2f(

x

2

)|≤k，只需k≥g（x）_max
g（x）=||ax+1|-|ax+2||≤|（ax+1）-（ax+2）|=1，
∴g（x）的最大值为1．
故k的取值范围是[1，+∞）．

点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．