Question

已知数列{2^n－1·a_n}的前n项和S_n＝1－.

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)设b_n＝，求数列的前n项和．

Answer 1

解析：　(1)由题意可知：S_n－1＝1－ (n≥2)，

又2^n－1·a_n＝S_n－S_n－1，

∴2^n－1·a_n＝－.

∴a_n＝－＝－2^－n(n≥2)．∴a₁＝－.

又S₁＝1－＝，

∴a₁≠S₁，

∴a_n＝

(2)由题意知b_n＝ (n≥2)，

∴＝n·2ⁿ(n≥2)．

∵＝2，

∴＝n·2ⁿ(n≥1)．

设的前n项和为S，

则S＝1×2＋2×2²＋3×2³＋…＋n·2ⁿ，

2S＝1×2²＋2×2³＋3×2⁴＋…＋(n－1)·2ⁿ＋n·2^n＋1，

∴S－2S＝1×2＋2²＋2³＋…＋2ⁿ－n·2^n＋1＝2＋2²＋…＋2ⁿ－n·2^n＋1，

∴－S＝(1－n)·2^n＋1－2，

∴S＝(n－1)·2^n＋1＋2.