Question

如图，在矩形ABCD中，AB>·AD，E为AD的中点，连结EC，作EF⊥EC，且EF交AB于F，连结FC.设＝k，是否存在实数k，使△AEF、△ECF、△DCE与△BCF都相似？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：假设存在实数k的值，满足题设．

①先证明△AEF∽△DCE∽△ECF.

因为EF⊥EC，

所以∠AEF＝90°－∠DEC＝∠DCE.

而∠A＝∠D＝90°，故△AEF∽△DCE.

故得＝.又DE＝EA，所以＝.

又∠CEF＝∠EAF＝90°，

所以△AEF∽△ECF.

②再证明可以取到实数k的值，使△AEF∽△BCF，

由于∠AFE＋∠BFC≠90°，故不可能有∠AFE＝∠BFC，

因此要使△AEF∽△BCF，应有∠AFE＝∠BFC，

此时，有＝，又AE＝BC，故得AF＝BF＝AB.

由△AEF∽△DCE，可知＝，

因此，＝AB²，

所以＝，求得k＝＝.

可以验证，当k＝时，这四个三角形都是有一个锐角等于60°的直角三角形，故它们都相似．