Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD=CD=1，∠BAD=120°，PA=

3

，∠ACB=90°，M是线段PD上的一点（不包括端点）．
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）求异面直线AC与PD所成的角的余弦值；
（3）若点M为侧棱PD中点，求直线MA与平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）由已知中PA⊥底面ABCD，∠ACB=90°，我们可得PA⊥BC，BC⊥AC，由线面垂直的判定定理，可得BC⊥平面PAC；
（2）取CD的中点E，易得在A点AP，AE，AB三线垂直，以A为坐标原点建立空间坐标系，求出直线AC与PD的方向向量，代入向量夹角公式，即可异面直线AC与PD所成的角的余弦值；
（3）同由已知中AB∥CD，AD=CD=1，∠BAD=120°，我们可得AC=1，进而得到PC=PD，设CD的中点为E，连接PE，由等腰三角形“三线合一”我们可得PE⊥CD，又由PA⊥CD，结合线面垂直的判定定理得到CD⊥平面PAE，过A作PE的垂线AF，垂足为F，则∠AME就是线MA与平面PCD所成角，解三角形AME，即可得到答案．

解答：解：（1）∵PA⊥底面ABCD，BC?底面ABCD
∴PA⊥BC
又∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
又PA∩AC=A
∴BC⊥平面PAC；
（2）取CD的中点E，则AE⊥CD，∴AE⊥AB．又∵PA⊥底面ABCD，AE?面ABCD，∴PA⊥AE，（5分）
以C为坐标原点建立空间直角坐标系，如图
．则
A(0，0，0)，P(0，0，

3

)，C(

3

2

，

1

2

，0)，D(

3

2

，-

1

2

，0)，E（

3

2

，0，0）

AC

=(

3

2

，

1

2

，0)，

PD

=(

3

2

，-

1

2

，

3

，
设AC，PD的夹角为θ
则cosθ=

AC • PD

| AC |•| PD |

=

1 2

1×1

=

1

2

即异面直线AC与PD所成的角的余弦值为

1

2

．
（3）过A作PE的垂线AF，垂足为F，则AF⊥平面PCD
∴∠AME就是直线MA与平面PCD所成角
在直角三角形PAD中，
∵PA=

3

，AD=1，M是PD的中点，
∴AM=1，
在直角三角形PAE中
∵PA=

3

，AE=

3

2

∴AF=

15

5

在直角三角形MAF中
sin∠AMF=sinθ=

AF

MA

=

15

5

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，异面直线及其所成的角，直线与平面所成的角，其中（1）的关键是掌握线面垂直的判定定理，（2）中关键是求出直线AC与PD的方向向量，（3）中的关键是求出直线MA与平面PCD所成角的平面解．