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已知顶点在原点、焦点F在y轴正半轴上的抛物线Q1过点(2,1),抛物线Q2与Q1关于x轴对称.
(I)求抛物线Q2的方程;
(II)过点F的直线交抛物线Q1于点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),过A、B分别作Q1的切线l1,l2,记直线l1与Q2的交点为M(m1,n1),N(m2,n2)(m1<m2),求证:抛物线Q2上的点S(s,t)若满足条件m2s=4,则S恰在直线l2上.

解:(I)设抛物线Q1方程为x2=2py(p>0),
依题意知4=2p∴p=2.
∴Q1:x2=4y
又∵抛物线Q2与Q1关于x轴对称
∴抛物线Q2的方程为:x2=-4y.
(II)由题意知AB 的斜率存在,且过焦点(0,1),所以设直线方程为:y=kx+1.
联立消y得:x2-4kx-4=0.则x1x2=-4.
∵抛物线Q1的方程为x2=4y,即y=
∴y′=x,则直线l1的方程为y-y1=(x-x1
又y1=∴直线l1的方程为y=x-
同理可得直线l2的方程为y=x-
∵N(m2,n2)在直线l1上,且n2=-
=m2-①.
又∵x1x2=-4,m2s=4∴x1=-,m2=
则代入①式得:=+
两边同乘以s2x22,得=s+,即-=s-
而t=-,∴t=s-,即点S(s,t)满足直线l2的方程.
故点S恰在直线l2上.
分析:(I)设出抛物线Q1对应的标准方程,代入点(2,1),则求得抛物线Q1的方程;然后根据抛物线Q2与Q1关于x轴对称,则焦点关于x轴对称,开口方向相反,显然易得抛物线Q2的方程.
(II)先设出直线AB的方程;然后与抛物线Q1联立方程组并消y,得关于x的一元二次方程,并由韦达定理表示出x1x2的值;再根据直线l1、l2是抛物线Q1的切线,则通过导数求其斜率,进而表示出l1、l2的方程;由于点S(s,t)的横坐标s与m2有等量关系m2s=4,则从点N(m2,n2)入手,把n2用m2的代数式替换,并根据点N在直线l1上建立等量关系式;再根据
x1x2=-4用x2替换x1,经变形使刚才的等式与直线l2的方程形式更加接近;最后由点S(s,t)在Q2上,满足t=-,则代入形如l2方程的等式,使点S(s,t)的坐标s、t恰好满足直线l2的方程.则问题解决.
点评:直线与圆锥曲线的相交问题,一般需联立方程组,并消元得一元二次方程,进而利用韦达定理来处理;再者,要证明点恒在线上,需始终明确目标(即欲证点的坐标满足直线方程),从相对复杂的关系中不断变形,最终到达目的地.
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