Question

（本小题满分14分）如图，已知四棱锥的底面是矩形，、分别是、的中点，底面，，
（1）求证：平面
（2）求二面角的余弦值

Answer 1

（1）以点为原点，为轴，为轴，为轴的空间直角坐标系，如图所示．则依题意可知相关各点的坐标分别是：，，，，如下图所示．……………………………………………………………………………（2分）

所以点的坐标分别为
…………………………………………（3分）
所以，，......................... （4分）
因为，所以．......................... （6分）
又因为，所以.............. （7分）
所以平面．.......................................................... （8分）
（2）设平面的法向量，则，........................ （9分）

所以
即............................................................. （10分）
所以
令，则
显然，就是平面的法向量．.................................. （11分）
所以.................... （12分）
由图形知，二面角是钝角二面角........................................ （13分）
所以二面角的余弦值为．......................................... （14分）

解：（1）取的中点，连接，则
，又，所以四点共面.
因为，且.......... （2分）]
所以.
又因为，
所以平面..................... （4分）
所以
所以平面................... （6分）
易证
所以平面．.................. （8分）
（2）连接，则
所以.............................................................. （9分）
同（1）可证明平面.
所以，且平面平面.
明显，所以........................................... （10分）
过作，垂足为，则平面.
连接，则......................................................... （11分）
因为，
所以平面，
为二面角平面角的补角. ....................................... （12分）
在中，，所以.
在中，
所以........................................................... （13分）
所以二面角的余弦值为．......................................... （14分）

略