Question

【题目】如图，设抛物线方程为 (p＞0)，M为直线上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.

（1）求直线AB与轴的交点坐标；

（2）若E为抛物线弧AB上的动点，抛物线在E点处的切线与三角形MAB的边MA，MB分别交于点，，记，问是否为定值？若是求出该定值；若不是请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）是定值，定值为2

【解析】

（1）设，，求导后可得直线的方程与直线方程，联立方程组可得，写出直线的方程为，令即可得解；

（2）设点，联立方程组可得，，进而可得，设，记，表示出各三角形面积后，即可得解.

（1）设，，抛物线方程可变为，

所以，所以，，

直线的方程为，直线方程为，

则解得，，

又，所以直线的方程为，

化简得， 令，，

又， 所以，

所以直线AB与轴的交点坐标为.

（2）记，设点，

可得直线的方程为，

由可得，同理，

所以

，

所以，同理，

所以，

设，记，则，，，，，

于是，

所以

，

所以.