Question

【题目】在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，离心率.过的直线与椭圆相交于两点，且的周长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若点位于第一象限，且，求的外接圆的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由的周长为得，再结合即可解出a，b；

（2）设，由得，联立椭圆方程可解得A点坐标，然后再写出直线的方程，联立椭圆方程得到B点坐标即可解决.

解：（1）因为椭圆的离心率，

所以①.

又的周长为，所以.②

联立①②，解得，从而，

因此椭圆的方程为.

（2）因为点位于第一象限，故设，其中.

因为，所以，又点在椭圆上，

所以解得，从而.

由（1）知，椭圆的左焦点为，所以直线的方程为．

由得，解得或．

所以.

因为，所以的外接圆就是以为直径的圆.

又椭圆的右焦点为，

所以线段的中点的坐标为，此时，

故的外接圆的方程为.