Question

【题目】已知为坐标原点，点和点，动点满足：.

（1）求动点的轨迹曲线的方程并说明是何种曲线；

（2）若抛物线：的焦点恰为曲线的顶点，过点的直线与抛物线交于，两点，，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）动点的轨迹方程为：，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支；

（2）或

【解析】

（1）由动点满足，可得到轨迹曲线为双曲线的右支；

（2）由（1）可得F的坐标，然后再求出抛物线的方程，设出直线的方程为，后根据焦点弦弦长公式得到关于k的方程，解出即可．

解：（1）根据双曲线的定义：

点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支

且，所以，，，，

所以动点的轨迹方程为：.

（2）因为曲线的顶点为，所以抛物线的方程为：，

当直线斜率不存在时，不满足题意，

设直线：，

由抛物线的定义知：，，，

所以，

将代入得：，

所以，解得，

所以直线的方程为：或.