Question

8．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²+alnx．
（1）若a=-1，求函数f（x）的单调区间．
（2）若a=1，求证：在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在g（x）=$\frac{2}{3}$x³的图象下方．

Answer 1

分析 本题属导数简单综合题；（1）首先对f（x）求导，利用f'（x）＞0与f'（x）＜0来判断原函数的单调区间；
（2）构造新函数h（x）=f（x）-g（x），利用导数方法求函数h（x）在区间上的最大值h（1）＜0，从而得证．

解答 解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），
当a=-1时，f'（x）=x-$\frac{1}{x}$=$\frac{（x+1）（x-1）}{x}$；
当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，所以f（x）在（0，1）上递减；
当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，所以f（x）在（1，+∞）上递增；
所以，f（x）在（0，1）单调递减，（1，+∞）上单调递增．
（2）证明：f（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}+lnx$ 
令h（x）=f（x）-g（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}$+lnx-$\frac{2}{3}{x}^{3}（x≥1）$
h'（x）=x+$\frac{1}{x}-2{x}^{2}$=-$\frac{（x-1）（2{x}^{2}+x+1）}{x}≤0$在[1，+∞）上恒成立，
∴h（x） 在区间[1，+∞）上递减，
∴h（x）≤h（1）=-$\frac{1}{6}＜0$
∴在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在g（x）=$\frac{2}{3}{x}^{3}$的图象下方．

点评 本题主要考查了导数单调性以及构造函数在导数综合题中的应用，属中档题．