Question

18．已知数列{a_n}满足$\frac{{a}_{1}-1}{2}$+$\frac{{a}_{2}-1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$=n²+n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，问是否存在实数λ使得$\frac{{{S_{n+1}}}}{{{a_n}+λ（n+1）}}$是一个与n无关的常数，若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知得$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$=2n，从而a_n=1+n•2ⁿ⁺¹，
（2）S_n=1×2²+2×2³+…+n×2ⁿ⁺¹+n，由此利用错位相减法能求出数列{a_n}前n项和S_n，设$\frac{{{S_{n+1}}}}{{{a_n}+λ（n+1）}}$=$\frac{n•{2}^{n+3}+n+5}{1+n•{2}^{n+1}+λ（n+1）}$=k＞0，k为常数，整理得到n•2ⁿ⁺¹（4-k）+（n+1）（1-kλ）+4-k=0，由数λ使得$\frac{{{S_{n+1}}}}{{{a_n}+λ（n+1）}}$是一个与n无关的常数，即可求出λ的值．

解答 解：（1）∵$\frac{{a}_{1}-1}{2}$+$\frac{{a}_{2}-1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$=n²+n，①
∴$\frac{{a}_{1}-1}{2}$+$\frac{{a}_{2}-1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n-1}-1}{{2}^{n-1}}$=（n-1）²+（n-1），②
①-②得：$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$=2n，
∴a_n-1=n•2ⁿ⁺¹，
∴a_n=1+n•2ⁿ⁺¹，
（2）S_n=1×2²+2×2³+…+n×2ⁿ⁺¹+n，
设T_n=1×2²+2×2³+…+n×2ⁿ⁺¹，③
则2T_n=1×2³+2×2⁴+…+n×2ⁿ⁺²，④
③-④，得-T_n=2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-n×2ⁿ⁺²=$\frac{4（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n×2ⁿ⁺²，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺²+4，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺²+n+4，
∴S_n+1=n•2ⁿ⁺³+n+5，
设$\frac{{{S_{n+1}}}}{{{a_n}+λ（n+1）}}$=$\frac{n•{2}^{n+3}+n+5}{1+n•{2}^{n+1}+λ（n+1）}$=k＞0，k为常数，
∴n•2ⁿ⁺¹（4-k）+（n+1）（1-kλ）+4-k=0，
∵实数λ使得$\frac{{{S_{n+1}}}}{{{a_n}+λ（n+1）}}$是一个与n无关的常数，
∴4-k=0，1-kλ=0，
解得λ=$\frac{1}{4}$，
故λ=$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用以及方程的思想，属于中档题