Question

3．已知函数f（x）=asinx-$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{3}{a}$+$\frac{1}{2}$（a∈R，a≠0），若对任意x∈R都有f（x）＜0，则a的取值范围是（　　）

• A． [-$\frac{3}{2}$，0）
• B． [-1，0）∪（0，1]
• C． （0，1]
• D． [1，3]

Answer 1

分析 利用三角函数的有界性、一次函数的单调性即可得出．

解答 解：f（x）=sin²x+asinx+a-$\frac{3}{a}$，令t=sinx（-1≤t≤1），
则g（t）=t²+at+a-$\frac{3}{a}$，
对任意x∈R，f（x）≤0恒成立的充要条件是$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）=1-\frac{3}{a}≤0}\\{g（1）=1+2a-\frac{3}{a}≤0}\end{array}\right.$，
解得a的取值范围是（0，1]．
故选：C．

点评 本题考查了通过换元转化为一次函数的单调性、三角函数的有界性等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力和转化能力，属于中档题．