Question

11．不等式（$\frac{a}{{e}^{a}}$-b）²≥m-（a-b+3）²对任意实数a，b恒成立，则实数m的最大值是（　　）

• A． $\frac{9}{2}$
• B． $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
• C． 2
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 不等式（$\frac{a}{{e}^{a}}$-b）²≥m-（a-b+3）²对任意实数a，b恒成立，转化为m≤（a-b+3）²+（$\frac{a}{{e}^{a}}$-b）²恒成立，转化为求求直线y=x+3上的点与曲线y=$\frac{x}{{e}^{x}}$上的点之间的距离的平方的最小值，根据导数的几何意义和点到直线的距离公式即可求出．

解答 解：∵不等式（$\frac{a}{{e}^{a}}$-b）²≥m-（a-b+3）²对任意实数a，b恒成立，
∴m≤（a-b+3）²+（$\frac{a}{{e}^{a}}$-b）²恒成立，
只要m≤[（a-b+3）²+（$\frac{a}{{e}^{a}}$-b）²]_min，
∵（a-b+3）²+（$\frac{a}{{e}^{a}}$-b）²的几何意义是点（a，$\frac{a}{{e}^{a}}$）与点（b-3，b）之间的距离的平方，
点（a，$\frac{a}{{e}^{a}}$）在曲线y=$\frac{x}{{e}^{x}}$上，
点（b-3，b）在直线y=x+3上，
问题等价于求直线y=x+3上的点与曲线y=$\frac{x}{{e}^{x}}$上的点之间的距离的平方的最小值，
∴y′=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
令y′=1，即$\frac{1-x}{{e}^{x}}$=1，解得x=0，
即曲线y=$\frac{x}{{e}^{x}}$在x=0处的切线的斜率等于1，此时切点坐标为（0，0），
改点到直线y=x+3的距离即为所求的最小值，
即$\frac{3}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，其平方为$\frac{9}{2}$，
∴m≤$\frac{9}{2}$，
即m的最大值为$\frac{9}{2}$，
故选：A

点评 本题考查了不等式恒成立的问题，以及导数的几何意义和点到直线的距离公式，关键是转化，属于中档题．