Question

19．已知△ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c，其面积$S=4\sqrt{3}$，∠B=60°，且a²+c²=2b²；等差数列{a_n}中，且a₁=a，公差d=b．数列{b_n}的前n项和为T_n，且T_n-2b_n+2=0，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设${c_n}=\left\{{\begin{array}{l}{{a_n}，n为奇数}\\{{b_n}\;\;，n为偶数}\end{array}}\right.$，求数列{c_n}的前2n+1项和T_2n+1．

Answer 1

分析 （1）利用a²+c²=2b²，所以b²=2accosB=16，即b=4，再求出a，可得数列{a_n}的通项公式；利用T_n-2b_n+2=0，再写一式，相减，可得数列{b_n}是以2为首项，公比为2的等比数列，即可得出数列{b_n}的通项公式；
（2）利用分组求和，即可求数列{c_n}的前2n+1项和T_2n+1．

解答 解：（1）因为$S=4\sqrt{3}$，∠B=60°，所以ac=16，
由于a²+c²=2b²，所以b²=2accosB=16，即b=4，
所以a²+c²=2b²=32，解得a=4，
所以a_n=4n；
由于T_n-2b_n+2=0，所以当n≥2时T_n-1-2b_n-1+2=0
相减整理的$\frac{b_n}{{{b_{n-1}}}}=2$，即数列{b_n}是以2为首项，公比为2的等比数列，
即${b_n}={2^n}$；
（2）T_2n+1=c₁+c₂+…+c_2n+1=（a₁+a₃+…a_2n+1）+（b₂+b₄+…b_2n）
=$\frac{{（{n+1}）（{4+8n+4}）}}{2}+\frac{{4（{1-{4^n}}）}}{1-4}$=$4{（{n+1}）^2}+\frac{4}{3}（{{4^n}-1}）$

点评 本题考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，确定数列的通项是关键．