Question

【题目】某健身馆在2019年7、8两月推出优惠项目吸引了一批客户.为预估2020年7、8两月客户投入的健身消费金额，健身馆随机抽样统计了2019年7、8两月100名客户的消费金额，分组如下：（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图：

（1）若把2019年7、8两月健身消费金额不低于800元的客户，称为“健身达人”，经数据 处理，现在列联表中得到一定的相关数据，请补全空格处的数据，并根据列联表判断是否有的把握认为“健身达人”与性别有关？

	健身达人	非健身达人	总计
男	10
女		30
总计

（2）为吸引顾客，在健身项目之外，该健身馆特别推出健身配套营养品的销售，现有两种促销方案.

方案一：每满800元可立减100元；

方案二：金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率为，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折.

若某人打算购买1000元的营养品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案.

（3）在（2）中的方案二中，金额超过800元可抽奖三次，假设三次中奖结果互不影响，且三次中奖的概率为，记为锐角的内角，

求证：

附：

Answer 1

【答案】（1）列联表见解析，有的把握认为“健身达人”与性别有关系；

（2）所以选择方案二更划算；

（3）见解析.

【解析】

（1）先根据题目完善表格，再根据公式计算出，与比较大小即可得出答案；

（2）若第一个方案，易得付款金额，第二个方案，设付款元，则可能取值为700，800，900，1000，求出分布列，计算出的期望值，比较大小即可；

（3）求出至少中一次的概率，通过可得答案.

（1）列联表如下：

	健身达人	非健身达人	总计
男	10	40	50
女	20	30	50
总计	30	70	100

因为，

因此有的把握认为“健身达人”与性别有关系；

（2）若选择方案一：则需付款900元；

若选择方案二：设付款元，则可能取值为700，800，900，1000.

，

，

，

，

所以（元），

因为，所以选择方案二更划算；

（3）∵是锐角三角形，

∴，则三次抽奖机会中，该顾客至少中一次的概率为：

由概率的定义可知：，故有：

.