Question

【题目】已知点是圆：上的一动点，点，点在线段上，且满足.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）设曲线与轴的正半轴，轴的正半轴的交点分别为点，，斜率为的动直线交曲线于、两点，其中点在第一象限，求四边形面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由向量的数量积的运算，可得，化简得，利用椭圆的定义，即可求得动点的轨迹方程．

（2）设直线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系和弦长公式，求得

和，在利用点到直线的距离公式，求得点到直线的距离 和点到直线的距离为，得出四边形面积，即可求解．

（1）由题意， ，

∴.

∴ ，

∴点的轨迹是以点，为焦点且长轴长为6的椭圆，

即，，∴，，∴.

即点的轨迹的方程为.

（2）由（1）可得，.

设直线的方程为，由点在第一象限，得，，，

由，得，

则，， ，

点到直线的距离为，点到直线的距离为，

∴四边形面积 ，

又，∴当时，取得最大值.

即四边形面积的最大值为.