Question

7．若正数m，n满足m+3n=5mn，则3m+4n的最小值为（　　）

• A． $\frac{24}{5}$
• B． $\frac{28}{5}$
• C． 6
• D． 5

Answer 1

分析 原式可化为$\frac{1}{5n}$+$\frac{3}{5m}$=1，可得3m+4n=（3m+4n）（$\frac{1}{5n}$+$\frac{3}{5m}$）=$\frac{3m}{5n}$+$\frac{9}{5}$+$\frac{4}{5}$+$\frac{12n}{5m}$，由基本不等式可得．

解答 解：∵正数m，n满足m+3n=5mn，
∴$\frac{m+3n}{5mn}$=1，即$\frac{1}{5n}$+$\frac{3}{5m}$=1，
∴3m+4n=（3m+4n）（$\frac{1}{5n}$+$\frac{3}{5m}$）
=$\frac{3m}{5n}$+$\frac{9}{5}$+$\frac{4}{5}$+$\frac{12n}{5m}$≥$\frac{13}{5}$+2$\sqrt{\frac{3m}{5n}•\frac{12n}{5m}}$=5，
当且仅当$\frac{3m}{5n}$=$\frac{12n}{5m}$即m=1且n=$\frac{1}{2}$时取等号，
故选：D．

点评 本题考查基本不等式求最值，“1”的代换是解决问题的关键，属基础题．