Question

如图所示，已知三棱锥P-ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AB=20，D为AB的中点，且△PDB是等边三角形，PA⊥PC．
（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；
（2）求二面角D-AP-C的正弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（1）根据面面平行的判定定理即可证明平面PAC⊥平面ABC；
（2）根据二面角的定义作出二面角，即可求二面角D-AP-C的正弦值．

解答： 解：（1）∵D为AB的中点，且△PDB是等边三角形，
∴三角形PAD为直角三角形，且∠APB=90°，
PA⊥PB，
∵PA⊥PC，PB∩PC=P，
∴PA⊥平面PBC，
∴PA⊥BC，
∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∵AC∩BC=C，
∴BC⊥平面PAC，
∵BC?平面ABC，
∴平面PAC⊥平面ABC；
（2）取AP的中点F，连结DF，则DF∥PB，
即DF⊥PA，
过F作FE⊥AC于E，则E为AC的中点，
则∠DFE为二面角D-AP-C的平面角，
∵BC=4，AB=20，
∴DE=2，DB=PB=10，
则DF=5，AC=8

6

，PA=10

3

，PC=2

21

，EF=

1

2

PG=

21

由余弦定理得，cos∠DFE=

DF2+EF2-DE2

2EF•DF

=

52+21-22

2× 21 ×5

=

21

5

，
则sin∠DFE=

1-( 21 5 )2

=

1- 21 5

=

4 5

=

2 5

5

点评：本题主要考查面面垂直的判定以及二面角的求解，综合考查了空间垂直的判定定理的应用．