Question

在平面直角坐标系中，已知点A(，0)，向量e＝(0,1)，点B为直线x＝－上的动点，点C满足，点M满足·e＝0，＝0.

(1)试求动点M的轨迹E的方程；

(2)设点P是轨迹E上的动点，点R、N在y轴上，圆(x－1)²＋y²＝1内切于△PRN，求△PRN的面积的最小值．

Answer 1

　(1)设M(x，y)，B(－，m)，则＝(x＋，y－m)，

∵＝(，0)＋(－，m)＝(0，m)，

∴C(0，)，

所以动点M的轨迹E的方程为y²＝2x.

(2)设P(x₀，y₀)，R(0，b)，N(0，c)，且b>c，

∴l_PR：y＝＋b，

即l_PR：(y₀－b)x－x₀y＋x₀b＝0，

由直线PR与圆相切得，＝1，注意到x₀>2，化简得(x₀－2)b²＋2y₀b－x₀＝0，

同理得(x₀－2)c²＋2y₀c－x₀＝0，

所以b，c是方程(x₀－2)x²＋2y₀x－x₀＝0的两根，

所以|b－c|＝

有S_△PRN＝·＋4≥8，当x₀＝4时△PRN的面积的最小值为8.