Question

14．设f（x）=x²+|x-a|．
（1）当a=0时，试作出f（x）的图象，并写出函数f（x）的单调区间；
（2）求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）当a=0时，f（x）=x²+|x|=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-x，x＜0\\{x}^{2}+x，x≥0\end{array}\right.$，结合二次函数的图象和性质，分段画出函数的图象，进而分析出函数的单调区间；
（2）f（x）=x²+|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-x+a，x＜a\\{x}^{2}+x-a，x≥a\end{array}\right.$，结合二次函数的图象和性质，分类讨论各种情况下f（x）的最小值，可得答案．

解答 解：（1）当a=0时，f（x）=x²+|x|=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-x，x＜0\\{x}^{2}+x，x≥0\end{array}\right.$．
f（x）的图象如下图所示：

由图可得：函数f（x）的单调递增区间为：[0，+∞），单调递减区间为（-∞，0]；
（2）f（x）=x²+|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-x+a，x＜a\\{x}^{2}+x-a，x≥a\end{array}\right.$，
当a≤$-\frac{1}{2}$时，函数f（x）的单调递增区间为：[$-\frac{1}{2}$，+∞），单调递减区间为（-∞，-$\frac{1}{2}$]，当x=-$\frac{1}{2}$时，f（x）的最小值为：$-\frac{1}{4}$-a；
当$-\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{1}{2}$时，函数f（x）的单调递增区间为：[a，+∞），单调递减区间为（-∞，a]，当x=a时，f（x）的最小值为：a²；
当a≥$\frac{1}{2}$时，函数f（x）的单调递增区间为：[，+∞），单调递减区间为（-∞，$\frac{1}{2}$]，当x=$\frac{1}{2}$时，f（x）的最小值为：a$-\frac{1}{4}$；

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．