Question

已知函数，，其中.

(1)若是函数的极值点，求实数的值；

(2)若对任意的(为自然对数的底数)都有成立，求实数的取值范围．

 

Answer 1

(1)；(2)．

【解析】

试题分析：（1）利用函数极值点的导数等于0，且此点的左侧和右侧导数的符号相反，求得实数的值；（2）问题等价于对任意的时，都有，分类讨论，利用导数的符号判断函数的单调性，由单调性求出函数的最小值及的最大值，根据它们之间的关系求出实数的取值范围．

试题解析：(1)∵，其定义域为，∴．

∵是函数的极值点，∴，即.

∵，∴．

经检验当时，是函数的极值点，∴．

(2)对任意的都有成立等价于对任意的，都有．

当时，．

∴函数在上是增函数，∴.

∵，且，．

①当且时，，

∴函数在上是增函数，∴．

由，得a≥，

又，∴不合题意．

②当时，

若，则，

若，则．

∴函数在上是减函数，在上是增函数．

∴.

由，得．又，∴．

③当且时，，

函数在上是减函数．

∴.

由，得．又，∴.

综上所述，的取值范围为．

考点：1、函数在某点取得极值的条件；2、利用导数求闭区间上函数的最值．