Question

6．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x-a，x≤0\\ x+\frac{a}{x}，x＞0\end{array}$，若f（-1）=-5，则f（x）在（1，+∞）上的最小值为4．

Answer 1

分析 利用f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x-a，x≤0\\ x+\frac{a}{x}，x＞0\end{array}$，f（-1）=-5，求出a，x＞1时，f（x）=x+$\frac{4}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=4，当且仅当x=2时，取等号，即可求出f（x）在（1，+∞）上的最小值．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x-a，x≤0\\ x+\frac{a}{x}，x＞0\end{array}$，f（-1）=-5，
∴-1-a=-5，
∴a=4，
∴x＞1时，f（x）=x+$\frac{4}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=4，当且仅当x=2时，取等号，
∴f（x）在（1，+∞）上的最小值为4，
故答案为：4．

点评 本题考查f（x）在（1，+∞）上的最小值，考查基本不等式的运用，属于中档题．