Question

（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC．

(1) 求证：平面AB₁C₁⊥平面AC₁；
(2) 若AB₁⊥A₁C，求线段AC与AA₁长度之比；
(3) 若D是棱CC₁的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB₁C₁？若存在，试确定点E的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）只需证B₁C₁⊥平面AC₁ ．（2）1：1．（3）点E位于AB的中点时。

解析试题分析：（1）由于ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，所以B₁C₁⊥CC₁;
又因为AC⊥BC ，所以B₁C₁⊥A₁C₁，所以B₁C₁⊥平面AC₁ ．
由于B₁C₁平面AB₁C₁，从而平面AB₁C₁⊥平面AC₁ ．
（2）由（1）知，B₁C₁⊥A₁C ．所以，若AB₁⊥A₁C，则可
得：A₁C⊥平面AB₁C₁，从而A₁C⊥  AC₁ ．
由于ACC₁A₁是矩形，故AC与AA₁长度之比为1：1．
（3）点E位于AB的中点时，能使DE∥平面AB₁C₁．
证法一：设F是BB₁的中点，连结DF、EF、DE．则易证：平面DEF//平面AB₁C₁，从而
DE∥平面AB₁C₁．
证法二：设G是AB₁的中点，连结EG，则易证EGDC₁. 所以DE// C₁G，DE∥平面AB₁C₁．
考点：面面垂直的判定定理；线面平行的判定定理；线面垂直的判定定理。
点评：证明线面平行的常用方法：
①定义：若一条直线和一个平面没有公共点，则它们平行；
②线线平行Þ线面平行
若平面外的一条直线平行于平面内的一条直线，则它与这个平面平行。
即     
③面面平行Þ线面平行
若两平面平行，则其中一个平面内的任一条直线平行于另一个平面。
即