Question

1．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c若2acosB=c，则2cos²$\frac{A}{2}$+sinB-1的取值范围是 （　　）

• A． [-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]
• B． [1，$\sqrt{2}$]
• C． （0，$\sqrt{2}$]
• D． （-1，$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 利用余弦定理表示出cosB，代入已知的等式化简，可得出a=b，根据等边对等角可得A=B，然后把所求式子的第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，再由B为三角形的内角，得出B的范围，进而得到这个角的范围，根据正弦函数的图象与性质得到此时正弦函数的值域，即可得到所求式子的取值范围．

解答 解：由余弦定理得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，
代入2acosB=c得：a²+c²-b²=c²，即a²=b²，
可得：a=b，即A=B，
2cos2$\frac{A}{2}$+sinB-1=cosA+sinB=sinB+cosB=$\sqrt{2}$sin（B+$\frac{π}{4}$），
∵2acosB=c，即cosB=$\frac{c}{2a}$＞0，
∴B∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴B+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），
∴sin（B+$\frac{π}{4}$）∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∴$\sqrt{2}$sin（B+$\frac{π}{4}$）∈（1，$\sqrt{2}$]，
即2cos²$\frac{A}{2}$+sinB-1的取值范围是（1，$\sqrt{2}$]，
故选：B．

点评 本题考查了余弦定理，二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，考查特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．