Question

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点连结成等腰直角三角形，直线l：x-y-b=0是抛物线x²=4y的一条切线．
（1）求椭圆方程；
（2）直线l交椭圆C于A、B两点，若点P满足++=（O为坐标原点），判断点P是否在椭圆C上，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于直线l：x-y-b=0是抛物线x²=4y的一条切线，联立消去一个未知数，令△=0即可得到b．再利用椭圆C的两焦点与短轴的一个端点连结成等腰直角三角形即可得到，即可得到a．
（2）把直线l的方程与椭圆方程联立即可解得点A，B的坐标，再利用点P满足++=（O为坐标原点）即可得到点P的坐标，判断是否满足椭圆方程即可．
解答：解：（1）联立，消去y得到x²-4x+4b=0．
∵直线l：x-y-b=0是抛物线x²=4y的一条切线，∴△=16-16b=0，解得b=1．
∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点连结成等腰直角三角形，
∴．故所求的椭圆方程为．
（2）由得3x²-2x-1=0，解得，
∴，
设P（x，y），∵，
∴=（0，0），
解得，∴，
把点代入椭圆方程，得，
∴点P不在椭圆C上．
点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、直线与圆锥曲线相切相交问题、向量运算等是解题的关键．