Question

设函数f（x）=x²-alnx与g（x）=x-a

x

的图象分别交直线x=1于点A，B，且曲线y=f（x）在点A处的切线与曲线y=g（x）在点B处的切线平行．
（1）求函数f（x），g（x）的表达式；
（2）设函数h（x）=f（x）-g（x），求函数h（x）的最小值；
（3）若不等式f（x）≥m•g（x）在x∈（0，4）上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的导函数，求出g（x）的导函数，由两函数的图象交直线x=1且曲线y=f（x）在点A处的切线与曲线y=g（x）在点B处的切线平行，得到x=1时，两导函数的值相等，即可列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，把a的值代入即可确定出f（x）和g（x）的表达式；
（2）把（1）中确定出的f（x）和g（x）代入即可确定出h（x），求出h（x）的导函数，根据负数没有对数及平方根得到x大于0，然后分x大于0小于1和x大于1两种情况讨论导函数的正负，即可得到函数h（x）的单调性，根据函数的增减性即可得到h（x）的最小值；
（3）由x的范围，得到g（x）小于0，f（x）大于1，所以当m大于等于0时，不等式f（x）≥m•g（x）在x∈（0，4）均成立；当m小于0时，求出mg（x）的最大值为-m，不等式要恒成立，即要-m小于等于1，即可求出此时m的范围，综上，得到不等式恒成立时m的范围．

解答：解：（1）由f（x）═x²-alnx得：f′（x）=

2x2-a

x

，由g（x）=x-a

x

得：g′（x）=

2 x -a

2 x

．
又由题意可得f′（1）=g′（1），即2-a=

2-a

2

，
故a=2，所以f（x）=x²-2lnx，g（x）=x-2

x

；
（2）h（x）=f（x）-g（x）=x²-x-2lnx+2

x

得：
h′（x）=2x-1-

2

x

+

1

x

=

( x -1)[2( x +1)(x+1)- x ]

x

，
由x＞0可知：2（

x

+1）（x+1）-

x

＞0．
故当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）递减，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）递增，
所以函数h（x）的最小值为h（1）=1²-1-2ln1+2

1

=2；
（3）当x∈（0，4）时，g（x）=x-2

x

=(

x

-1)2-1＜0，而f（x）=x²-2lnx≥1，
当m≥0时，不等式f（x）≥m•g（x）在x∈（0，4）均成立．
当m＜0时，m•g（x）的最大值为m•g（1）=-m，
故要使f（x）≥m•g（x）恒成立，则必需-m≤1，即m≥-1．
事实上，当x=1时，m=-1．故可知此时-1≤m＜0．
综上可知当m≥-1时，不等式f（x）≥m•g（x）在x∈（0，4）均成立．

点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，掌握不等式恒成立时满足的条件及导数在最大值、最小值问题中的应用，是一道中档题．