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    如图，圆O与直线x+
    		3
    y+2=0相切于点P，与x正半轴交于点A，与直线y=
    		3
    x在第一象限的交点为B．点C为圆O上任一点，且满足
    OC
    =x
    OA
    +y
    OB
    ，动点D（x，y）的轨迹记为曲线Γ．
    （1）求圆O的方程及曲线Γ的轨迹方程；
    （2）若直线y=x和y=-x分别交曲线Γ于点A、C和B、D，求四边形ABCD的周长；
    （3）已知曲线Γ为椭圆，写出椭圆Γ的对称轴、顶点坐标、范围和焦点坐标．
    考点：直线与圆锥曲线的综合问题
    专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程
    分析：（1）求出圆O的半径，写出圆O的方程，利用
    OC
    =x
    OA
    +y
    OB
    ，求出曲线Γ的方程．
    （2）利用直线与曲线方程联立，
    y=x
    x2+y2+xy=1
    ，求出A，C，B，D，然后求出四边形ABCD的周长．
    （3）设曲线Γ上任一点的坐标为P（x0，y0），点P关于直线y=x的对称点为P1（y0，x0），说明点P1在曲线Γ上，故曲线Γ关于直线y=x对称，曲线Γ关于直线y=-x和原点对称．求出x2+y2+xy=1和直线y=-x的交点坐标为A1，A2，求解即可．
    解答： 解：（1）由题意圆O的半径r=
    2
    		12+(
    		3
    )    2
    =1    ，
    故圆O的方程为x2+y2=1．…（2分）
    由
    OC
    =x
    OA
    +y
    OB
    得，
    OC
    2    =(x
    OA
    +y
    OB
    )2    ，
    即
    OC
    2    =x2
    OA
    2    +y2
    OB
    2    +2xy|
    OA
    ||
    OB
    |cos60°    ，
    得x2+y2+xy=1（x，y∈[-
    2
    		3
    3
    ，
    2
    		3
    3
    ]    ）为曲线Γ的方程．（未写x，y范围不扣分）…（4分）
    （2）由
    y=x
    x2+y2+xy=1
    解得：
    x=
    		3
    3
    y=
    		3
    3
    或
    x=-
    		3
    3
    y=-
    		3
    3
    ，
    所以，A（
    		3
    3
    ，
    		3
    3
    ），C（-
    		3
    3
    ，-
    		3
    3
    ）
    同理，可求得B（1，-1），D（-1，1）
    所以，四边形ABCD的周长为：
    17
    9

    （3）曲线Γ的方程为x2+y2+xy=1（x，y∈[-
    2
    		3
    3
    ，
    2
    		3
    3
    ]    ），
    它关于直线y=x、y=-x和原点对称，下面证明：
    设曲线Γ上任一点的坐标为P（x0，y0），则x02+y02+x0y0=1，
    点P关于直线y=x的对称点为P1（y0，x0），显然y02+x02+y0x0=1，
    所以点P1在曲线Γ上，故曲线Γ关于直线y=x对称，
    同理曲线Γ关于直线y=-x和原点对称．
    可以求得x2+y2+xy=1和直线y=x的交点坐标为B1(-
    		3
    3
    ，-
    		3
    3
    )，B2(
    		3
    3
    ，
    		3
    3
    )    ，
    x2+y2+xy=1和直线y=-x的交点坐标为A1（-1，1），A2（1，-1），
    ∴|OA1|=
    		2
    ，|OB1|=
    		6
    3
    ，∴
    		|OA1|2-|OB1|2
    =
    2
    		3
    3
    ，
    ∴
    		|OA1|2-|OB1|2
    		2
    =
    		6
    3
    ．
    在y=-x上取点F1(-
    		6
    3
    ，
    		6
    3
    )，F2(
    		6
    3
    ，-
    		6
    3
    )    ．
    曲线Γ为椭圆：
    其焦点坐标为F1(-
    		6
    3
    ，
    		6
    3
    )，F2(
    		6
    3
    ，-
    		6
    3
    )    ．
    点评：本题考查圆的方程以及曲线轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的基本知识的应用，考查计算能力．
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    已知双曲线C：
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1(a，b＞0)    的一条渐近线方程是y=
    1
    2
    x    ，它的一个焦点在抛物线y2=4
    		5
    x    的准线上，点A（x1，y1），B（x2，y2）是双曲线C右支上相异两点，且满足x1+x2=6，D为线段AB的中点，直线AB的斜率为k．
    （Ⅰ）求双曲线C的方程；
    （Ⅱ）用k表示点D的坐标；
    （Ⅲ）若k＞0，AB的中垂线交x轴于点M，直线AB交x轴于点N，求△DMN的面积的取值范围．

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    B、{x|x＞1}
    C、{x|0＜x＜1}
    D、∅

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    如果直线3x-
    		3
    y+m=0与双曲线C：
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1（a＞0，b＞0）恒有两个公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是（　　）
    A、（1，2）
    B、（2，+∞）
    C、（1，2]
    D、[2，+∞）

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    x 2
    8
    +
    y 2
    4
    =1    于M、N两点，B（0，2）是椭圆的一个顶点，若线段MN的中点恰为点P．
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