Question

已知过点P（2，-1）的直线l交椭圆

x 2

8

+

y 2

4

=1于M、N两点，B（0，2）是椭圆的一个顶点，若线段MN的中点恰为点P．
（Ⅰ）求直线l的方程；
（Ⅱ）求△BMN的面积．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用点差法，求出直线的斜率，即可求直线l的方程；
（Ⅱ）y=x-3代入椭圆方程，利用韦达定理求出|MN|，求出B（0，2）到直线y=x-3的距离，即可求△BMN的面积．

解答： 解：（Ⅰ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则

x12

8

+

y12

4

=1，

x22

8

+

y22

4

=1，
∵线段MN的中点恰为点P，
∴两式相减可得

4(x2-x1)

8

+

-2(y2-y1)

4

=1，
∴k=

y2-y1

x2-x1

=1
∴可得直线l的方程为y=x-3；
（Ⅱ）y=x-3代入椭圆方程，可得3x²-12x+10=0，
∴x₁+x₂=4，x₁x₂=

10

3

，
∴|MN|=

1+k2

|x₁-x₂|=

4 3

3

，
∵B（0，2）到直线y=x-3的距离为d=

5

2

=

5 2

2

，
∴△BMN的面积

1

2

|MN|d=

5 6

3

．

点评：本题考查点差法的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．