Question

16．设函数f（x）=$\sqrt{a{x^2}+bx+c}$（a，b，c∈R）的定义域和值域分别为A，B，若集合{（x，y）|x∈A，y∈B}对应的平面区域是正方形区域，则实数a，b，c满足（　　）

• A． |a|=4
• B． a=-4且b²+16c＞0
• C． a＜0且b²+4ac≤0
• D． 以上说法都不对

Answer 1

分析 设y=ax²+bx+c与x轴相交于两点（x₁，0），（x₂，0），a＜0．可得|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{-a}$．由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{△={b}^{2}-4ac＞0}\\{|{x}_{1}-{x}_{2}|=\sqrt{\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}}}\end{array}\right.$，化简即可得出．

解答 解：设y=ax²+bx+c与x轴相交于两点（x₁，0），（x₂，0），a＜0．
则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．
∴|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（-\frac{b}{a}）^{2}-\frac{4c}{a}}$=$\frac{\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{-a}$．
由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{△={b}^{2}-4ac＞0}\\{|{x}_{1}-{x}_{2}|=\sqrt{\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}}}\end{array}\right.$，
由$\sqrt{\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}}$=$\frac{\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{-a}$，解得a=-4．
∴实数a，b，c满足a=-4，△=b²+16c＞0，
故选：B．

点评 本题考查了二次函数的性质、一元二次方程的实数根与判别式的关系及其根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．