Question

为圆周率，为自然对数的底数.
（1）求函数的单调区间；
（2）求，，，，，这6个数中的最大数与最小数；
（3）将，，，，，这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.

Answer 1

（1）单调增区间为，单调减区间为；（2）最大数为，最小数为；（3），，，，，.

试题分析：（1）先求函数的定义域，用导数法求函数的单调区间；（2）利用（1）的结论结合函数根据函数、、的性质，确定，，，，，这6个数中的最大数与最小数；（3）由（1），（2）的结论只需比较与和与的大小，时，，即，在上式中，令，又，则，即得，整理得，估算的值，比较与3的大小，从而确定与的大小关系，再根据，确定与的大小关系，最后确定6个数从小到大的顺序.
（1）函数的定义域为，因为，所以，
当，即时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减；
故函数的单调增区间为，单调减区间为.
（2）因为，所以，，即，，
于是根据函数、、在定义域上单调递增，
所以，，
故这6个数的最大数在与之中，最小数在与之中，
由及（1）的结论得，即，
由得，所以，
由得，所以，
综上，6个数中的最大数为，最小数为.
（3）由（2）知，，，又由（2）知，，
故只需比较与和与的大小，
由（1）知，当时，，即，
在上式中，令，又，则，即得①
由①得，，
即，亦即，所以，
又由①得，，即，所以，
综上所述，，即6个数从小到大的顺序为，，，，，.