Question

7．空间几何体ABCDEF如图所示．已知面ABCD⊥面ADEF，ABCD为梯形，ADEF为正方形，且AB∥CD，AB⊥AD，CD=4，AB=AD=2，G为CE的中点．
（Ⅰ）求证：BG∥面ADEF；
（Ⅱ）求证：面DBG⊥面BDF．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取ED中点H，连接HG、AH，只需证明AH∥BG即可；
（Ⅱ）取BD中点O，连接OF，OG、DG，易得∠FOG为二面角F-BD-G的平面角，解△OFG即可．

解答 证明：（ I）如图1，取ED中点H，连接HG、AH，
因为G、H分别为EC、ED的中点，所以HG∥CD且$HG=\frac{1}{2}DC$
因为AB∥CD且$AB=2=\frac{1}{2}CD$
所以AB∥HG，且AB=HG．
所以AHGB为平行四边形，所以AH∥BG；
因为BG?面PBC，AH?面PBC，所以BG∥面ADEF；

         图1
（Ⅱ）如图2，∵ABCD⊥面ADEF及ED⊥DC⇒ED⊥面ADCD⇒ED⊥DC．
取BD中点O，连接OF，OG、DG
∵AB⊥AD，CD=4，AB=AD=2，∴BF=DF=DB=2$\sqrt{2}$，⇒OF⊥BD，OF=$\sqrt{6}$，
∵BG=AH=$\sqrt{5}$，DG=$\frac{1}{2}$EC=$\sqrt{5}$，∴OG⊥BD，OG=$\sqrt{3}$
∴∠FOG为二面角F-BD-G的平面角；
在△OFG中，OF=$\sqrt{6}$，OG=$\sqrt{3}$，FG=$\sqrt{E{F}^{2}+E{G}^{2}}=3$，
满足OF²+OG²=FG²，∴∠FOG为直角，
∴面DBG⊥面BDF．

点评 本题考查了线面平行，面面垂直的判定，属于中档题．