Question

16．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数），在以原点为极点，X轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求C的普通方程和l的倾斜角；
（2）若l和C交于A，B两点，且Q（2，3），求|QA|+|QB|．

Answer 1

分析 （1）消去参数求C的普通方程；求出l的直角坐标方程，即可求出l的倾斜角；
（2）若l和C交于A，B两点，求出A，B的坐标，利用Q（2，3），求|OA|+|QB|．

解答 解：（1）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数），普通方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1               …（2分）
由ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，得ρsinθ-ρcosθ=1        …（3分）
所以：x-y+1=0，即直线l的倾斜角为：45°             …（5分）
（2）联立直线与椭圆的方程，解得A（0，1），B（-$\frac{8}{5}$，-$\frac{3}{5}$） …（7分）
所以|QA|=2$\sqrt{2}$，|QB|=$\frac{18\sqrt{2}}{5}$                                 …（9分）
所以|QA|+|QB|=$\frac{28\sqrt{2}}{5}$．                    …（10分）

点评 本题考查三种方程的互化，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，正确转化是关键．