Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²+bn（b为常数），且对于任意的k∈N^*，a_k，a_2k，a_4k构成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{

1

anan+1

}的前n项和为T_n，求使不等式T_n＜

3

13

成立的n的最大值．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）根据S_n=n²+bn，利用a_n=S_n-S_n-1，结合对于任意的k∈N^*，a_k，a_2k，a_4k成等比数列，可求数列{a_n}的通项公式；
（2）利用裂项法求和，根据T_n＜

3

13

，即可求得n最大值．

解答： 解：（1）∵a_n=S_n-S_n-1=n²+bn-（n-1）²-b（n-1）=2n+b-1，（n≥2）
∴当n=1时，a₁=s₁=1+b，
∴a_n=2n+b-1．
由a_k，a_2k，a_4k成等比数列可得：（4k+b-1）²=（2k+b-1）（8k+b-1）
化简得：2k（b-1）=0，
∵对于任意的k∈N^*恒成立，
∴b=1，∴a_n=2n；
（2）

1

anan+1

=

1

4

（

1

n

-

1

n+1

），
∴T_n=

1

4

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=

1

4

（1-

1

n+1

），
∴T_n＜

3

13

成立，即

1

4

（1-

1

n+1

）＜

3

13

，
∴n＜12，
∴使不等式T_n＜

3

13

成立的n的最大值为11．

点评：本题重点考查数列的通项，考查裂项法求和，考查解不等式，解题的关键是利用a_n=S_n-S_n-1，求通项．