Question

已知正项数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和S_n满足a_n=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=

1

Sn • Sn+3

，记数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＜

11

18

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件得当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

Sn

+

Sn-1

，从而

Sn

-

Sn-1

=1，由此得到

Sn

=n，从而求出a_n=2n-1．
（Ⅱ）bn=

1

Sn • Sn+3

=

1

n(n+3)

=

1

3

(

1

n

-

1

n+3

)，由此利用裂项求和法能证明T_n＜

11

18

．

解答： （Ⅰ）解：∵正项数列{a_n}的首项a₁=1，
前n项和S_n满足a_n=

Sn

+

Sn-1

（n≥2），
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

Sn

+

Sn-1

，
∴

Sn

-

Sn-1

=1，
∴数列{

Sn

}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴

Sn

=n，
∴n≥2时，有a_n=

Sn

+

Sn-1

=n+（n-1）=2n-1，
n=1时，a₁=1适合，∴a_n=2n-1．…（7分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知

Sn

=n，
则bn=

1

Sn • Sn+3

=

1

n(n+3)

=

1

3

(

1

n

-

1

n+3

)，…（9分）
Tn=

1

S1 • S4

+

1

S2 • S5

+

1

S3 • S6

+…+

1

Sn • Sn+3

=

1

1•4

+

1

2•5

+

1

3•6

+…+

1

n(n+3)

=

1

3

[(1-

1

4

)+(

1

2

-

1

5

)+(

1

3

-

1

6

)+(

1

4

-

1

7

)…+(

1

n

-

1

n+3

)]
=

1

3

(1+

1

2

+

1

3

-

1

n+1

-

1

n+2

-

1

n+3

)＜

11

18

．
∴T_n＜

11

18

．…（14分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．