Question

已知函数f（x）=

3 sin2x+cos2x+1

2cosx

．
（Ⅰ）求f（x）的定义域和值域；
（Ⅱ）若曲线f（x）在点P（x₀，f（x₀））（-

π

2

＜x₀＜

π

2

）处的切线平行直线y=

3

x，求在点P处的切线方程．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）首先化简函数f（x）=

3 sin2x+cos2x+1

2cosx

，化成一个角的正弦函数，然后求出求f（x）的定义域和值域即可；
（Ⅱ）首先求出f′（x）、f′（x₀），推得cos(x0+

π

6

)=

3

2

；然后根据-

π

2

＜x₀＜

π

2

，求出x₀+

π

6

的范围，进而求出x₀的值；最后求出点P处的切线方程即可．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

3 sin2x+cos2x+1

2cosx

=

3

sinx+cosx=2sin(x+

π

6

)
由2cosx≠0，
可得x≠kπ+

π

2

（k∈Z），
所以f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠kπ+

π

2

，（k∈Z）}，
则x+

π

6

≠kπ+

2π

3

(k∈Z)，-2≤y≤2，
所以f（x）的值域为[-2，2]．
（Ⅱ） f/(x)=

3

cosx-sinx，

f/(x0)= 3 cosx0-sinx0 =2cos(x0+ π 6 ) = 3

∴cos(x0+

π

6

)=

3

2

；
又∵-

π

3

＜x0+

π

6

＜

2π

3

，
∴x0+

π

6

=

π

6

，-

π

6

∴x0=0，-

π

3

，
可得切点为P(0，1)或P(-

π

3

，-1)，
切线方程为：y=

3

x+1和y=

3

x+

3 π

3

-1．

点评：本题主要考查了函数的定义域和值域的求法，考查了三角函数的性质，考查了直线方程的求法，属于中档题．