Question

已知函数f（x）=2sin（x-

π

3

）cosx+sinxcosx+

3

sin²x（x∈R）．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，B为锐角，且f（B）=

3

，AC=4

3

，D是BC边上一点，AB=AD，试求AD+DC的最大值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,二倍角的正弦,正弦函数的单调性,正弦定理

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）利用两角和差的正弦公式、倍角公式、正弦函数的单调性即可得出；
（2）利用（1）的结论可得B，得出三角形为等边三角形，再利用正弦定理即可得出．

解答： 解：（1）f(x)=2(

1

2

sinx-

3

2

cosx)cosx+sinxcosx+

3

sin2x
=2sinxcosx-

3

(cos2x-sin2x)
=sin2x-

3

cos2x
=2sin(2x-

π

3

)．
由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

π

2

+2kπ，得-

π

12

+kπ≤x≤

5π

12

+kπ（k∈Z）．
（2）由f(B)=

3

得sin(2B-

π

3

)=

3

2

．
又0＜B＜

π

2

，则-

π

3

＜2B-

π

3

＜

2π

3

，从而2B-

π

3

=

π

3

，∴B=

π

3

．
由AB=AD知△ABD是正三角形，AB=AD=BD，
∴AD+DC=BD+DC=BC，
在△ABC中，由正弦定理，得

4 3

sin π 3

=

BC

sin∠BAC

，即BC=8sin∠BAC．
∵D是BC边上一点，∴

π

3

＜∠BAC＜

2π

3

，∴

3

2

＜sin∠BAC≤1，知4

3

＜BC≤8．
当∠BAC=

π

2

，C=

π

6

时，AD+CD取得最大值8．

点评：本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式、正弦函数的单调性、等边三角形的性质、正弦定理，考查了推理能力和计算能力，属于难题．