Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其右焦点为（1，0），并且经过点（

2

2

，

3

2

），直线l与C相交于M、N两点，l与x轴、y轴分别相交于P、Q两点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）判断是否存在直线l，使得P、Q是线段MN的两个三等分点，若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件得a²-b²=1，

1

2a2

+

3

4b2

=1，由此能求出椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）由题意，设直线l的方程为y=kx+m（km≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则P（-

m

k

，0），Q（0，m），由方程组

y=kx+m x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，由此利用韦达定理、三等分点性质，中点坐标公式、弦长公式结合已知条件能求出直线l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）∵右焦点为（1，0），∴a²-b²=1，
∵椭圆且经过点（

2

2

，

3

2

），
∴

1

2a2

+

3

4b2

=1，
解得a²=2，b²=1，
∴椭圆C的标准方程为

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）由题意，设直线l的方程为y=kx+m（km≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则P（-

m

k

，0），Q（0，m），
由方程组

y=kx+m x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
其中△=16k²-8m²+8，
由韦达定理得x1+x2=

-4km

1+2k2

，x1x2=

2m2-2

1+2k2

，
由P，Q是线段MN的两个三等分点，得线段MN的中点与线段PQ的中点重合，
∴x1+x2=

-4km

1+2k2

=0-

m

k

，解得k=±

2

2

，
由P，Q是线段MN的两个三等分点，得|MN|=3|PQ|，
∴

1+k2

•|x1-x2|=3

( m k )2+m2

，
|x₁-x₂|=

( -4km 1+2k )2-4× 2m2-2 1+2k2

=3|

m

k

|，
解得m=±

5

5

，满足△=16k²-8m²+8＞0，
∴存在直线l，使得P，Q是线段MN的两个三等分点，
此时直线l的方程为y=

2

2

x±

5

5

或y=-

2

2

x±

5

5

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．