Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

5

3

，且直线y=x+

b

2

是抛物线y²=4x的一条切线．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的左顶点A的l交y轴于Q．与椭圆交于R，过原点O且平行于l的射线交椭圆于S．求证：|AQ|，

2

|OS|，|AR|成等比数列．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用直线y=x+

b

2

是抛物线y²=4x的一条切线，可求b，

c

a

=

5

3

，得a=3，c=

5

，即可求椭圆C的方程；
（2）求出Q的坐标，直y=k（x+3）代入椭圆方程，求出|AQ|、|AR|，y=kx代入椭圆方程，求出2|OS|²，即可得出结论．

解答： （1）解：因为直线y=x+

b

2

是抛物线y²=4x的一条切线，
所以方程（x+

b

2

）²=4x的△=0，
所以b=2…（2分）
又

c

a

=

5

3

，得a=3，c=

5

…（4分）
所以椭圆的方程为

x2

9

+

y2

4

=1…（5分）
（2）由题意可知直线l的斜率存在且不为零，
设直线l的方程为y=k（x+3），则Q（0，3k）…（6分）
由y=k（x+3）代入椭圆方程，得R（

12-27k2

4+9k2

，

24k

4+9k2

）…（7分）
所以|AQ|=3

1+k2

…（8分）
|AR|=

24

4+9k2

1+k2

…9分
所以|AQ||AR|=

72(1+k2)

4+9k2

…（10分）
设S（x₁，y₁），由y=kx代入椭圆方程，得x₁²=

36

4+9k2

，x₂²=

36k2

4+9k2

…（11分）
所以2|OS|²=

72(1+k2)

4+9k2

…（12分）
所以|AQ||AR|=2|OS|²，即：|AQ|，

2

|OS|，|AR|成等比数列…（13分）

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系．考查等比数列，正确求出：|AQ|，

2

|OS|，|AR|是关键．