Question

已知

a

=（

3

，-1），

b

=（

1

2

，

3

2

）．
（1）设

a

与

b

的夹角为θ，解关于x的不等式：log₃（2^x-1）≤2^1-sinθ
（2）若存在不同时为0的实数k和t，使

x

=a+（t-3）b，

y

=-ka+tb，且

x

⊥

y

，试求函数关系式k=f（t）；
（3）求函数k=f（t）的最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用向量的数量积的坐标运算可求得θ=

π

2

，从而可解log₃（2^x-1）≤1，即得其解集；
（2）依题意，由

x

⊥

y

，得-ka²+t（t-3）b²=0，于是可求得k；
（3）由（2）知k=

1

4

t（t-3），配方后，利用二次函数的性质即可求得函数k=f（t）的最小值．

解答： 解：（1）由

a

•

b

=

3

2

-

3

2

=0，得

a

⊥

b

．
∵

a

与

b

的夹角为θ，
∴θ=

π

2

，∴log₃（2^x-1）≤2^1-1=1，
∴2^x-1≤3，
解得：0＜x≤2，即原不等式的解集为{x|0＜x≤2}…（4分）
（2）由

x

⊥

y

，得，

x

•

y

=[a+（t-3）b]•（-ka+tb）=0，即-ka²-k（t-3）a•b+ta•b+t（t-3）b²=0．
-ka²+t（t-3）b²=0．
∴k=

1

4

t（t-3）．…（9分）
（3）k=

1

4

t（t-3）=

1

4

(t-

3

2

)2-

9

16

，
所以当t=

3

2

时，k取最小值-

9

16

．…（13分）

点评：本题考查利用向量的数量积的坐标运算，突出考查对数函数的性质与二次函数的最值，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．