Question

某出版社新出版一本高考复习用书，该书的成本为5元一本，经销过程中每本书需付给代理商m元（1≤m≤3）的劳务费，经出版社研究决定，新书投放市场后定价为x元一本（9≤x≤11）．预计一年的售量为（20-x）²万本．
（Ⅰ）求该出版社一年的利润L（万元）与每本书的定价x的函数关系式；
（Ⅱ）若m=2时，当每本书的定价为多少元时，该出版社一年利润L最大，并求出L的最大值．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用,函数解析式的求解及常用方法

专题：应用题,导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）该出版社一年的利润L（万元）为每本书的利润与一年的销售量的积，故可得函数解析式；
（Ⅱ）求导函数，确定函数在[9，11]上单调递增，即可确定函数的最值．

解答： 解：（Ⅰ）该出版社一年的利润L（万元）与每本书定价x的函数关系式为：L=（x-5-m）（20-x）²，x∈[9，11]．
（Ⅱ）m=2时，L=（x-7）（20-x）²，x∈[9，11]．
L′=（20-x）（34-3x）．
令L′=0得x=

34

3

或x=20（不合题意，舍去）．
∴函数在[9，11]上单调递增，
∴x=11时，一年利润L最大，最大为324．

点评：本题考查函数模型的构建，考查导数知识的运用，解题的关键是确定函数的模型，属于中档题．