Question

已知函数f（x）=cos²x，g（x）=1+

1

2

sin2x．
（1）若点A（α，y）（α∈[0，

π

4

]）为函数f（x）与g（x）的图象的公共点，试求实数α的值；
（2）求函数h（x）=f（x）+g（x），x∈[0，

π

4

]的值域．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的图象,余弦函数的图象

专题：三角函数的求值

分析：（1）由于点A（α，y）（0≤α≤π）为函数f（x）与g（x）的图象的公共点，可得cos2α=1+

1

2

sin2α，利用倍角公式展开即可得出；
（2）利用倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）∵点A（α，y）（0≤α≤π）为函数f（x）与g（x）的图象的公共点，
∴cos2α=1+

1

2

sin2α，
⇒

1

2

+

1

2

cos2α=1+

1

2

sin2α
∴cos2α-sin2α=1
∴cos2α-1=sin2α，
∴-2sin²α=2sinαcosα，
∴sinα=0，或tanα=-1．
∵α∈[0，

π

4

]
∴α=0．
（2）∵h（x）=f（x）+g（x）
∴h(x)=cos2x+1+

1

2

sin2x=

1

2

+

1

2

cos2x+1+

1

2

sin2x
=

1

2

cos2x+

1

2

sin2x+

3

2

=

2

2

(

2

2

cos2x+

2

2

sin2x)+

3

2

=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

3

2

∵x∈[0，

π

4

]，
∴

π

4

≤2x+

π

4

≤

3π

4

．
∴

2

2

≤sin(2x+

π

4

)≤1，
∴2≤

2

2

sin(2x+

π

4

)+

3

2

≤

3+ 2

2

．
即函数h（x）的值域为[2，

3+ 2

2

]．

点评：本题考查了倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性，考查了计算能力，属于难题．