Question

已知函数y=f（x）的图象是由y=sinx图象经过如下三个步骤变化得到的：
①将y=sinx的图象的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的

1

2

；
②将①中图象整体向左平移

π

6

个单位；
③将②中的图象的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍．
（I）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若f（A）=

3

，a=

2

，b+c=

6

，求△ABC面积．

Answer 1

考点：余弦定理,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：解三角形

分析：（I）利用三角函数的变换法则确定出f（x），利用正弦函数的单调性即可确定出f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）由第一问确定出的f（x）解析式及f（A）=

3

，求出A的度数，利用余弦定理列出关系式，将a与cosA的值代入并利用完全平方公式变形，将b+c的值代入求出bc的值，即可确定出三角形ABC面积．

解答： 解：（I）变换①得到函数y=sin2x图象，
变换②得到函数y=sin（2x+

π

3

）图象，
变换③得到函数y=2sin（2x+

π

3

）图象，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，得到函数f（x）的单调递增区间是[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z；
（II）∵f（A）=1，∴sin（2A+

π

3

）=

3

2

，
∵

π

3

＜2A+

π

3

＜

7π

3

，∴2A+

π

3

=

2π

3

，即A=

π

6

，
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，即b²+c²-

3

bc=2，
整理得：（b+c）²-（2+

3

）bc=2，
又b+c=

6

，
∴bc=8-4

3

，
则S_△ABC=

1

2

bcsinA=2-

3

．

点评：此题考查了余弦定理，三角函数的图象变换，正弦函数的单调性，以及三角形的面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．