Question

如图，底面为正方形的四棱锥S-ABCD 中，P为侧棱SD上的点且SD⊥平面PAC，每条侧棱的长都是底面边长的

2

倍．
（1）求二面角P-AC-D的大小．
（2）在侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）利用二面角的定义作出二面角的平面角，知AC⊥平面SBD，所以AC⊥OP，且AC⊥OD，所以∠POD是二面角P-AC-D的平面角，或用向量法；
（2）利用线面平行的性质解决，或用向量法．

解答： 解法一：
（1）连BD，设AC交BD于O，由题意SO⊥AC．在正方形ABCD中，AC⊥BD，所以AC⊥平面SBD，得AC⊥SD．
设正方形边长a，则SD=

2

a．
又OD=

2

2

a，所以∠SOD=60°，
连OP，知AC⊥平面SBD，所以AC⊥OP，
且AC⊥OD，所以∠POD是二面角P-AC-D的平面角．
由SD⊥平面PAC，知SD⊥OP，所以∠POD=30°，
即二面角P-AC-D的大小为30⁰．
（2）在棱SC上存在一点E，使BE∥平面PAC
由（1）可得PD=

2

4

a，故可在SP上取一点N，使PN=PD，过N作PC的平行线与SC的交点即为E．连BN．
在△BDN中知BN∥PO，又由于NE∥PC，故平面BEN∥平面PAC，得BE∥平面PAC，由于SN：NP=2：1，故SE：EC=2：1．
解析二（1）连BD，设AC交于BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD．
以O为坐标原点，

.

OB

，

.

OC

，

.

OS

分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系O-xyz如图．
…1分
设底面边长为a，则高SO=

6

2

a．
于是 S(0，0，

6

2

a)，D(-

2

2

a，0，0)，C(0，

2

2

a，0)w，B(

2

2

a，0，0)

.

OC

=(0，

2

2

a，0)

.

SD

=(-

2

2

a，0，-

6

2

a)…3分
由题设知，平面PAC的一个法向量

.

DS

=(

2

2

a，0，

6

2

a)，平面DAC的一个法向量

.

OS

=(0，0，

6

2

a)，
设所求二面角为θ，则cosθ=

. OS • . DS

| . OS || . DS |

=

3

2

，θ∈[0，π]
∴θ=

π

6

故所求二面角的大小为

π

6

…7分
（2）在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC．
由（1）知

.

DS

是平面PAC的一个法向量，
且

.

DS

=(

2

2

a，0，

6

2

a)，

.

CS

=(0，-

2

2

a，

6

2

a)，

.

BC

=(-

2

2

a，

2

2

a，0)
设 

.

CE

=t

.

CS

，则  

.

BE

=

.

BC

+

.

CE

=

.

BC

+t

.

CS

=(-

2

2

a，

2

2

a(1-t)，

6

2

at)
而 

.

BE

•

.

DS

=0?t=

1

3

即当SE：EC=2：1时，

.

BE

⊥

.

DS

而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC…12分．

点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及空间两直线的位置关系的判定和二面角的求法，涉及到的知识点比较多，知识性技巧性都很强．